Öffnen Lösungen PDF – Binomische Formeln
Die binomischen Formeln sind ein wichtiger Bestandteil der Algebra. Sie helfen uns dabei, Klammern auszumultiplizieren und Terme zu vereinfachen. Hier sind einige Übungen und Beispiele, die dir dabei helfen sollen, die binomischen Formeln zu verstehen und anzuwenden.
Übung 1:
Vereinfache den Ausdruck (x+3)(x+5).
Lösung:
Wir wenden die erste binomische Formel an: (a+b)² = a² + 2ab + b².
Also:
(x+3)(x+5) = x² + 3x + 5x + 15 = x² + 8x + 15.
Übung 2:
Vereinfache den Ausdruck (2x-1)(2x+1).
Lösung:
Wir wenden die zweite binomische Formel an: (a-b)(a+b) = a² – b².
Also:
(2x-1)(2x+1) = (2x)² – 1² = 4x² – 1.
Übung 3:
Multipliziere die folgenden Terme aus: (a+b)².
Lösung:
Wir wenden wieder die erste binomische Formel an: (a+b)² = a² + 2ab + b².
Also:
(a+b)² = a² + 2ab + b².
Übung 4:
Multipliziere die folgenden Terme aus: (a-b)².
Lösung:
Wir wenden wieder die zweite binomische Formel an: (a-b)² = a² – 2ab + b².
Also:
(a-b)² = a² – 2ab + b².
Übung 5:
Multipliziere die folgenden Terme aus: (a+b)(a-b).
Lösung:
Wir wenden die dritte binomische Formel an: (a+b)(a-b) = a² – b².
Also:
(a+b)(a-b) = a² – b².
Übung 6:
Vereinfache den Ausdruck (3x+2y)².
Lösung:
Wir wenden die erste binomische Formel an: (a+b)² = a² + 2ab + b².
Also:
(3x+2y)² = (3x)² + 2(3x)(2y) + (2y)² = 9x² + 12xy + 4y².
Übung 7:
Vereinfache den Ausdruck (4a²-9b²)².
Lösung:
Wir wenden die zweite binomische Formel an: (a-b)(a+b) = a² – b².
Also:
(4a²-9b²)² = (4a²)² – (9b²)² = 16a⁴ – 81b⁴.
Übung 8:
Vereinfache den Ausdruck (2x+3)(2x-3).
Lösung:
Wir wenden die dritte binomische Formel an: (a+b)(a-b) = a² – b².
Also:
(2x+3)(2x-3) = (2x)² – 3² = 4x² – 9.
Übung 9:
Vereinfache den Ausdruck (x+2)³.
Lösung:
Wir wenden die erste binomische Formel an: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Also:
(x+2)³ = x³ + 3x²(2) + 3x(2²) + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
Übung 10:
Vereinfache den Ausdruck (4x-5)³.
Lösung:
Wir wenden die zweite binomische Formel an: (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.
Also:
(4x-5)³ = (4x)³ – 3(4x)²(5) + 3(4x)(5²) – 5³ = 64x³ – 240x² + 300x – 125.
Übung 11:
Vereinfache den Ausdruck (2a+3b)³.
Lösung:
Wir wenden die erste binomische Formel an: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Also:
(2a+3b)³ = (2a)³ + 3(2a)²(3b) + 3(2a)(3b)² + (3b)³ = 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³.
Übung 12:
Vereinfache den Ausdruck (x-2)⁴.
Lösung:
Wir wenden die zweite binomische Formel an: (a-b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴.
Also:
(x-2)⁴ = x⁴ – 4x³(2) + 6x²(2²) – 4x(2³) + 2⁴ = x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.
Übung 13:
Vereinfache den Ausdruck (a+b+c)².
Lösung:
Wir wenden die erste binomische Formel zweimal an:
(a+b+c)² = (a+b)² + 2(a+b)c + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c².
Übung 14:
Vereinfache den Ausdruck (a+b+c)³.
Lösung:
Wir wenden die erste binomische Formel dreimal an:
(a+b+c)³ = (a+b)³ + 3(a+b)²c + 3(a+b)c² + c³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³.
Übung 15:
Vereinfache den Ausdruck (a²+b²+c²)².
Lösung:
Wir wenden die erste binomische Formel zweimal an:
(a²+b²+c²)² = (a²+b²)² + 2(a²+b²)c² + c⁴ = a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 2a²c² + 2b²c² + c⁴.
Übung 16:
Vereinfache den Ausdruck (a²-b²-c²)².
Lösung:
Wir wenden die zweite binomische Formel zweimal an:
(a²-b²-c²)² = (a²-b²)² – 2(a²-b²)c² + c⁴ = a⁴ – 2a²b² + b⁴ – 2a²c² + 2b²c² + c⁴.
Übung 17:
Vereinfache den Ausdruck (a+b)(a²-ab+b²).
Lösung:
Wir wenden die dritte binomische Formel an: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Also:
(a+b)(a²-ab+b²) = a³ + a²b + ab² + ab² – a²b – b³ = a³ – b³ + 3ab².
Übung 18:
Vereinfache den Ausdruck (a-b)(a²+ab+b²).
Lösung:
Wir wenden die dritte binomische Formel an: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Also:
(a-b)(a²+ab+b²) = a³ – ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³ – 3a²b.
Übung 19:
Vereinfache den Ausdruck (x+1)(x²-x+1).
Lösung:
Wir wenden die dritte binomische Formel an: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Also:
(x+1)(x²-x+1) = x³ + x² – x² + x + x – 1 = x³ + 2x – 1.
Übung 20:
Vereinfache den Ausdruck (2x+3y)(4x-5y).
Lösung:
Wir wenden die dritte binomische Formel zweimal an:
(2x+3y)(4x-5y) = (2x)² – 3²y² – 4xy + 5xy = 8x² – 17y².
Zusammenfassung:
- Die erste binomische Formel lautet: (a+b)² = a² + 2ab + b².
- Die zweite binomische Formel lautet: (a-b)² = a² – 2ab + b².
- Die dritte binomische Formel lautet: (a+b)(a-b) = a² – b².
Mit diesen Formeln kannst du Klammern ausmultiplizieren und Terme vereinfachen. Übe weiter, um sicherzustellen, dass du die Formeln richtig anwenden kannst!
In der 8. Klasse beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler intensiv mit binomischen Formeln. Diese Formeln sind ein wichtiger Bestandteil der Algebra und werden in vielen mathematischen Aufgaben und Problemen verwendet. In diesem Blogbeitrag möchten wir Ihnen einige Aufgaben und Lösungen zu diesem Thema präsentieren.
Was sind binomische Formeln?
Binomische Formeln beschreiben die Multiplikation von Summen. Es gibt drei verschiedene binomische Formeln:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- (a + b)(a – b) = a² – b²
Es ist wichtig, dass Schülerinnen und Schüler diese Formeln auswendig lernen und in der Lage sind, sie anzuwenden.
Aufgaben zur binomischen Formel
Im Folgenden finden Sie einige Aufgaben zur binomischen Formel:
- Berechnen Sie (3x + 2)².
- Berechnen Sie (5a – 2b)².
- Berechnen Sie (2x + 3)(2x – 3).
Lösungen
Hier sind die Lösungen zu den oben genannten Aufgaben:
- (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
- (5a – 2b)² = 25a² – 20ab + 4b²
- (2x + 3)(2x – 3) = 4x² – 9
Es ist wichtig, dass Schülerinnen und Schüler nicht nur die Lösungen kennen, sondern auch verstehen, wie sie zu diesen Lösungen gelangt sind.
Zusammenfassung
Die binomischen Formeln sind ein wichtiger Bestandteil der Algebra und werden in vielen mathematischen Aufgaben und Problemen verwendet. Schülerinnen und Schüler sollten diese Formeln auswendig lernen und in der Lage sein, sie anzuwenden. In diesem Blogbeitrag haben wir Ihnen einige Aufgaben und Lösungen zu diesem Thema präsentiert. Wir hoffen, dass Ihnen dieser Beitrag dabei geholfen hat, Ihre Kenntnisse in diesem Bereich zu vertiefen.
| Vorteile der binomischen Formeln | Nachteile der binomischen Formeln |
|---|---|
| – Vereinfachung von komplexen Termen | – Nicht immer anwendbar |
| – Erleichterung von Rechenoperationen | – Auswendiglernen erforderlich |
| – Anwendung in vielen mathematischen Problemen | – Verwechslungsgefahr bei ähnlichen Formeln |