Öffnen Lösungen PDF – Baumdiagramm
1. Beispiel: Ziehen von Kugeln aus einer Urne
Gegeben ist eine Urne mit 3 roten, 2 weißen und 1 grünen Kugel. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Erstelle ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Kugel rot und die zweite Kugel weiß ist.
Lösung:Das Baumdiagramm sieht wie folgt aus:
| R | W | G | |
|---|---|---|---|
| R | RW | RR | RG |
| W | WR | WW | WG |
| G | GR | GW | GG |
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist, beträgt 3/6 = 1/2. Nachdem eine rote Kugel gezogen wurde, bleiben noch 2 rote, 2 weiße und 1 grüne Kugel übrig. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel weiß ist, beträgt somit 2/5. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „erste Kugel rot und zweite Kugel weiß“ ist demnach (1/2) * (2/5) = 1/5.
2. Beispiel: Wer wird Klassensprecher?
In einer Klasse mit 20 Schülern soll der Klassensprecher gewählt werden. Es gibt 3 Kandidaten: A, B und C. Erstelle ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass B Klassensprecher wird.
Lösung:Das Baumdiagramm sieht wie folgt aus:
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| A | – | AB | AC |
| B | BA | – | BC |
| C | CA | CB | – |
Die Wahrscheinlichkeit, dass B Klassensprecher wird, beträgt 1/3, da es insgesamt 3 Kandidaten gibt.
3. Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
Es wird zweimal mit einem Würfel gewürfelt. Erstelle ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augenzahl beider Würfel zusammen 7 ergibt.
Lösung:Das Baumdiagramm sieht wie folgt aus:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Die Augenzahlen, die zusammen 7 ergeben, sind (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl beider Würfel zusammen 7 ergibt, beträgt somit 6/36 = 1/6.
4. Beispiel: Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
Gegeben sind die Ereignisse A und B. Es gilt: P(A) = 0,4, P(B) = 0,3 und P(A und B) = 0,1. Erstelle ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eines der Ereignisse eintritt.
Lösung:Das Baumdiagramm sieht wie folgt aus:
| A | ¬A | |
|---|---|---|
| B | AB | B¬A |
| ¬B | A¬B | ¬A¬B |
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Ereignisse A oder B eintritt, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von A, B und dem Schnitt von A und B: P(A oder B) = P(A) + P(B) – P(A und B) = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6.
Die Klasse 9 beschäftigt sich im Mathematikunterricht oft mit dem Thema Baumdiagramme. Dabei geht es darum, verschiedene Möglichkeiten und Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu visualisieren. Hier sind einige Aufgaben mit Lösungen, um das Thema besser zu verstehen.
Aufgabe 1:
Ein Würfel wird zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
- beim ersten Wurf eine 4 und beim zweiten Wurf eine 6
- beim ersten Wurf eine ungerade Zahl und beim zweiten Wurf eine gerade Zahl
- beim ersten Wurf eine 2 oder eine 5 und beim zweiten Wurf eine 1 oder eine 3
Lösung:
- Die Wahrscheinlichkeit für eine 4 beim ersten Wurf beträgt 1/6, die Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim zweiten Wurf beträgt ebenfalls 1/6. Da die Ereignisse unabhängig voneinander sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: 1/6 * 1/6 = 1/36.
- Die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Zahl beim ersten Wurf beträgt 3/6, also 1/2. Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl beim zweiten Wurf beträgt ebenfalls 1/2. Da die Ereignisse unabhängig voneinander sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: 1/2 * 1/2 = 1/4.
- Die Wahrscheinlichkeit für eine 2 oder eine 5 beim ersten Wurf beträgt 2/6, also 1/3. Die Wahrscheinlichkeit für eine 1 oder eine 3 beim zweiten Wurf beträgt ebenfalls 2/6, also 1/3. Da die Ereignisse unabhängig voneinander sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: 1/3 * 1/3 = 1/9.
Aufgabe 2:
Ein Urnenexperiment wird durchgeführt. In der Urne befinden sich 4 rote, 3 blaue und 2 grüne Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, ohne dass eine Kugel zurückgelegt wird. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
- beim ersten Zug eine rote und beim zweiten Zug eine blaue Kugel
- beide Kugeln haben dieselbe Farbe
- beim ersten Zug eine grüne Kugel
Lösung:
- Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel beim ersten Zug beträgt 4/9, die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel beim zweiten Zug beträgt 3/8. Da die Ereignisse abhängig voneinander sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: 4/9 * 3/8 = 1/6.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben, beträgt die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln plus die Wahrscheinlichkeit für zwei blaue Kugeln plus die Wahrscheinlichkeit für zwei grüne Kugeln: (4/9 * 3/8) + (3/9 * 2/8) + (2/9 * 1/8) = 17/72.
- Die Wahrscheinlichkeit für eine grüne Kugel beim ersten Zug beträgt 2/9, die Wahrscheinlichkeit für eine Kugel beliebiger Farbe beim zweiten Zug beträgt 7/8. Da die Ereignisse abhängig voneinander sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: 2/9 * 7/8 = 7/36.
Baumdiagramme können helfen, komplexe Wahrscheinlichkeiten besser zu verstehen. Mit ein wenig Übung lassen sich die Aufgaben leicht lösen.